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Dénombrement : exercices

Terminale · SpécialitéChapitre 9

Exercice 1Le code de Toufik

Pour rentrer chez lui, Toufik doit entrer un code composé de $4$ chiffres (allant de $0$ à $9$), puis $3$ lettres (allant de A à E).

  1. Combien y a-t-il de possibilités ?
  2. Et si tous les symboles sont différents ?

Exercice 2Le mot de passe de Toufik

Toufik a oublié son mot de passe à $4$ chiffres, chaque chiffre peut aller de $0$ à $9$.

Déterminer le nombre de codes :

  1. possibles ;
  2. avec aucun $7$ ;
  3. avec au moins un $7$ ;
  4. avec un seul $7$.

Là, Toufik se rappelle que tous les chiffres sont différents.

  1. possibles ;
  2. finissant par un nombre pair ;
  3. avec un $5$ et un $6$.

Exercice 3C'est relativement simple

On choisit successivement, sans remise, deux entiers relatifs non nuls dans :

$$\{-30 ; -29 ; \dots ; -1 ; 1 ; \dots ; 29 ; 30\}.$$
  1. Combien y a-t-il de couples $(a ; b)$ différents ?
  2. Combien de couples vérifient $ab<1$ ?

Exercice 4Coefficients binomiaux

Calculer :

$\dbinom{10}{2}=\ \dots$$\dbinom{10}{3}=\ \dots$$\dbinom{10}{8}=\ \dots$ $\dbinom{10}{7}=\ \dots$$\dbinom{6}{3}=\ \dots$$\dbinom{14}{12}=\ \dots$ $\dfrac{9!\times12!}{8!\times11!}=\ \dots$$\dfrac{(9!)^2}{7!\times8!}=\ \dots$

Exercice 5Équations factorielles

Résoudre dans $\mathbb{N}$ :

1) $(n+1)!=5\,040$2) $n!=56\,(n-2)!$ 3) $\dbinom{n}{2}=21$4) $\dbinom{n}{2}=45$ 5) $\dbinom{8}{k}=56$6) $\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=30$ 7) $\dbinom{n}{2}+\dbinom{n+1}{2}=16$8) $(n+2)!-(n+1)!=36\times n!$

Exercice 6La course de Toufik

Toufik et ses amis sont $10$ à faire la course.

  1. Les $3$ premiers reçoivent des médailles : or, argent ou bronze. Combien de possibilités ?
  2. Les $3$ derniers sont éliminés. Combien de possibilités ?

Exercice 7La boîte

Une boîte contient $8$ boules, on en tire $3$.

Combien de possibilités dans les cas suivants ?

  1. Boules numérotées de $1$ à $8$, tirage avec remise.
  2. Boules numérotées de $1$ à $8$, tirage sans remise.
  3. Boules sans numéro, tirage sans remise.

Exercice 8Les quatre points

On considère les $4$ points du plan suivants :

ABCD
  1. Combien peut-on former de vecteurs ?
  2. Combien peut-on former de segments ?
  3. Combien peut-on former de triangles ?

Exercice 9Le chemin

  1. Dans un plan muni d'un repère, un robot se déplace d'un pas vers la droite ou d'un pas vers le haut. Combien de chemins vont de $(0,0)$ à $(5,3)$ ?
(0,0)(5,3)(2,2)
  1. Sur cette même grille, combien de chemins reliant $(0,0)$ à $(5,3)$ passent par le point $(2,2)$ ?

Exercice 10T'en as marre du nom Toufik ?

  1. Combien d'anagrammes (mots ayant un sens ou non) peut-on former avec les lettres du mot TOUFIK ?
  2. Et si le mot commence et finit par une voyelle ?

Exercice 11Les cartes

Un jeu de $32$ cartes contient $4$ couleurs (pique, cœur, carreau, trèfle) de $8$ cartes chacune : $7$, $8$, $9$, $10$, valet, dame, roi, as.

1) On tire au hasard une carte d'un jeu de $32$ cartes.
La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à :

  1. $\dfrac{5}{8}$
  2. $\dfrac{21}{32}$
  3. $\dfrac{11}{32}$
  4. $\dfrac{3}{8}$

2) On tire au hasard et simultanément deux cartes d'un jeu de $32$ cartes.
La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à :

  1. $\dfrac{105}{248}$
  2. $\dfrac{\binom{21}{2}}{\binom{32}{2}}$
  3. $\dfrac{21^2}{32^2}$
  4. $\dfrac{5^2}{8^2}$
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