Pourquoi l'exponentielle ne s'intègre-t-elle jamais en réunion ?
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Parce que quoi qu'il arrive, elle reste elle-même.
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Espace Mathémusant
On fait presque n'importe quoi… mais avec des maths.
Blagues de maths
Lis la question, devine, puis déroule la chute.
Que dit une constante quand elle voit arriver la dérivée ?
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« Fuyez ! Avec elle, je ne suis plus rien… je deviens zéro. »
Pourquoi le livre de maths est-il toujours triste ?
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Parce qu'il a beaucoup trop de problèmes.
Que dit le 0 au 8 ?
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« Elle est jolie, ta ceinture ! »
Pourquoi ne faut-il jamais discuter avec π ?
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Parce qu'il n'en finit jamais.
Quel est le comble pour un prof de géométrie ?
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Avoir un fils qui ne tourne pas rond.
x² invite sa racine carrée à un dîner. Que répond-elle ?
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« Je viens, mais seulement si l'ambiance reste positive ! »
Pourquoi les droites parallèles ne sont-elles jamais amies ?
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Parce qu'elles n'ont aucun point commun.
Que fait un matheux quand il a froid ?
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Il se met dans un coin : il paraît qu'il y fait 90 degrés.
Pourquoi le cercle a-t-il quitté la discussion ?
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Parce qu'elle tournait en rond.
Pourquoi une suite géométrique de raison ½ n'a-t-elle pas peur de disparaître ?
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Elle tend vers 0… mais elle ne l'atteint jamais.
Les nombres complexes, c'est comme les excuses de mes élèves : une partie réelle, et une grosse partie imaginaire.
Il y a 10 sortes de personnes : celles qui comprennent le binaire, et les autres.
Mon moral pendant les révisions, c'est ln x : quand mes heures de sommeil tendent vers 0, il part vers −∞.
Énigmes de maths et de logique
Cherche d'abord, clique ensuite pour dérouler la réponse.
La batte et la balle Calcul
Une batte et une balle coûtent 1,10 € en tout. La batte coûte 1 € de plus que la balle. Combien coûte la balle ?
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5 centimes (et non 10 !). Si la balle coûte x, la batte coûte x + 1, donc 2x + 1 = 1,10 et x = 0,05 €.
Les nénuphars Calcul
Sur un étang, la surface couverte par les nénuphars double chaque jour. Il faut 48 jours pour couvrir tout l'étang. Combien de jours faut-il pour en couvrir la moitié ?
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47 jours. La veille du 48e jour, l'étang est à moitié couvert, puisque la surface double en une journée.
Les machines Logique
5 machines fabriquent 5 objets en 5 minutes. Combien de temps faut-il à 100 machines pour fabriquer 100 objets ?
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5 minutes. Chaque machine fabrique un objet en 5 minutes : 100 machines fabriquent donc 100 objets en 5 minutes.
L'escargot dans le puits Logique
Un escargot est au fond d'un puits de 10 m. Chaque jour il grimpe de 3 m, chaque nuit il glisse de 2 m. Au bout de combien de jours sort-il ?
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8 jours. Il gagne 1 m par jour complet : au matin du 8e jour il est à 7 m, et dans la journée il grimpe de 3 m, ce qui l'amène à 10 m. Il sort avant de glisser.
Les poignées de main Calcul
10 personnes se retrouvent et chacune serre une fois la main de toutes les autres. Combien de poignées de main sont échangées ?
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45. Chacun serre 9 mains : 10 × 9 = 90, mais chaque poignée est comptée deux fois, donc 90 ÷ 2 = 45. En général : n(n − 1)/2.
La somme de Gauss Calcul
Combien vaut 1 + 2 + 3 + … + 100, sans calculatrice et en moins d'une minute ?
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5 050. On associe 1 et 100, 2 et 99, 3 et 98… : 50 paires qui valent chacune 101, soit 50 × 101 = 5 050.
Les deux seaux Logique
Tu as un seau de 3 L, un seau de 5 L, sans graduation, et un robinet. Comment obtenir exactement 4 L ?
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Remplis le 5 L et verse-le dans le 3 L : il reste 2 L dans le 5 L. Vide le 3 L et verses-y ces 2 L. Remplis à nouveau le 5 L et complète le 3 L (il manque 1 L) : il reste 4 L dans le 5 L.
Les chaussettes dans le noir Logique
Un tiroir contient des chaussettes noires et des chaussettes blanches, bien mélangées. Dans le noir, combien faut-il en prendre au minimum pour être sûr d'avoir une paire de la même couleur ?
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3. Avec deux couleurs, parmi 3 chaussettes, deux ont forcément la même couleur (c'est le principe des tiroirs).
La bille la plus lourde Logique
Parmi 9 billes identiques, une seule est un peu plus lourde. Avec une balance à deux plateaux, comment la trouver en seulement 2 pesées ?
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Fais 3 groupes de 3. Pèse deux groupes : le plus lourd contient la bille ; s'il y a équilibre, elle est dans le troisième. Dans ce groupe de 3, pèse deux billes : la plus lourde est la bonne, ou, en cas d'équilibre, c'est la troisième.
Le gardien menteur Logique
Deux portes : l'une mène à la sortie, l'autre non. Devant elles, deux gardiens : l'un dit toujours la vérité, l'autre ment toujours, et tu ne sais pas lequel est lequel. Tu n'as droit qu'à une seule question, à un seul gardien. Laquelle poser ?
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Demande à l'un d'eux : « Si je demandais à l'autre gardien quelle porte mène à la sortie, que me répondrait-il ? » Dans les deux cas, la réponse désigne la mauvaise porte : il suffit de prendre l'autre.
Le dernier chiffre Calcul
Quel est le chiffre des unités de 22026 ?
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4. Les chiffres des unités des puissances de 2 reviennent par cycles de 4 : 2, 4, 8, 6, 2, 4… Or 2026 = 4 × 506 + 2, donc on prend le 2e chiffre du cycle, c'est-à-dire 4.
Le train dans le tunnel Calcul
Un train de 1 km de long roule à 60 km/h et traverse un tunnel de 1 km. Combien de temps s'écoule entre l'entrée de la locomotive et la sortie du dernier wagon ?
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2 minutes. La locomotive doit parcourir 2 km (le tunnel, plus la longueur du train) ; à 60 km/h, soit 1 km par minute, cela prend 2 minutes.
Les trois portes Probabilités
Un jeu : derrière une porte sur trois il y a une voiture, derrière les deux autres une chèvre. Tu choisis une porte. Le présentateur, qui sait tout, ouvre une autre porte qui cache une chèvre, puis te propose de changer. As-tu intérêt à changer ?
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Oui ! En gardant ta porte, tu gagnes avec une probabilité de 1/3. En changeant, tu gagnes chaque fois que ton premier choix était une chèvre, c'est-à-dire avec une probabilité de 2/3.
Le loup, la chèvre et le chou Logique
Un passeur doit faire traverser une rivière à un loup, une chèvre et un chou. Sa barque ne peut porter que lui et un seul passager. Seuls, le loup mange la chèvre et la chèvre mange le chou. Comment faire ?
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1. Il passe la chèvre. 2. Il revient seul et passe le loup. 3. Il ramène la chèvre. 4. Il passe le chou (qui reste avec le loup). 5. Il revient seul et passe la chèvre.
Jolis calculs
Des calculs étonnants, à vérifier à la main… et le « pourquoi » à dérouler.
Les 1 au carré
1 × 1 = 1 11 × 11 = 121 111 × 111 = 12321 1111 × 1111 = 1234321 11111 × 11111 = 123454321 111111111 × 111111111 = 12345678987654321
Pourquoi ?
Quand on pose la multiplication, chaque colonne additionne autant de 1 qu'il y a de chiffres qui se superposent : 1, 2, 3… puis 3, 2, 1. Ça marche tant qu'il n'y a pas de retenue, donc jusqu'à neuf 1.
Le 8 qui renverse tout
1 × 8 + 1 = 9 12 × 8 + 2 = 98 123 × 8 + 3 = 987 1234 × 8 + 4 = 9876 12345 × 8 + 5 = 98765 123456789 × 8 + 9 = 987654321
Pourquoi ?
En notant un = 123…n, on a un = 10·un−1 + n. On vérifie par récurrence que 8·un + n donne bien 98…(10 − n) : chaque étape décale d'un rang vers la gauche et ajoute le chiffre suivant.
Rien que des 1
1 × 9 + 2 = 11 12 × 9 + 3 = 111 123 × 9 + 4 = 1111 1234 × 9 + 5 = 11111 123456789 × 9 + 10 = 1111111111
Pourquoi ?
Même idée : 9·un + (n + 1) = 11…1 (n + 1 chiffres). Passer de n à n + 1 revient à multiplier par 10 et ajouter 1, ce qui ajoute un 1 au bout.
Rien que des 8
9 × 9 + 7 = 88 98 × 9 + 6 = 888 987 × 9 + 5 = 8888 9876 × 9 + 4 = 88888 98765432 × 9 + 0 = 888888888
Pourquoi ?
C'est le « miroir » des deux pyramides précédentes : 987…·9 = 10 × 987… − 987…, et les chiffres décroissants s'arrangent pour ne laisser que des 8.
Le nombre magique 142857
142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142 142857 × 7 = 999999
Pourquoi ?
142857 est la période de 1/7 = 0,142857142857… Multiplier par 2, 3, 4, 5 ou 6 donne 2/7, 3/7… dont les écritures décimales sont les mêmes chiffres, décalés. Et 7/7 = 1 = 0,999999…
37, le roi des chiffres répétés
37 × 3 = 111 37 × 6 = 222 37 × 9 = 333 37 × 12 = 444 … 37 × 27 = 999
Pourquoi ?
Car 111 = 3 × 37. Donc 37 × 3k = k × 111 = kkk pour k de 1 à 9.
Le 8 qui disparaît
12345679 × 9 = 111111111 12345679 × 18 = 222222222 12345679 × 27 = 333333333 … 12345679 × 81 = 999999999
Pourquoi ?
111 111 111 = 9 × 12 345 679 (on peut le poser !). Il suffit ensuite de multiplier par 1, 2, …, 9.
Les impairs font des carrés
1 = 1² 1 + 3 = 2² 1 + 3 + 5 = 3² 1 + 3 + 5 + 7 = 4² 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²
Pourquoi ?
On passe d'un carré de côté n à un carré de côté n + 1 en ajoutant une « équerre » de 2n + 1 petits carrés : c'est exactement le nombre impair suivant.
Les cubes et le triangle
1³ = 1² 1³ + 2³ = 3² 1³ + 2³ + 3³ = 6² 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 10² 1³ + … + n³ = (1 + 2 + … + n)²
Pourquoi ?
La somme des n premiers cubes vaut le carré de la somme des n premiers entiers, c'est-à-dire (n(n + 1)/2)². Se démontre par récurrence (niveau Terminale).
Des carrés qui s'équilibrent
3² + 4² = 5² 10² + 11² + 12² = 13² + 14² 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
Pourquoi ?
Chaque ligne suit le même motif : n + 1 carrés consécutifs à gauche, n carrés consécutifs à droite. Par exemple 100 + 121 + 144 = 365 = 169 + 196.
1729, le nombre de Ramanujan
1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³
Pourquoi ?
C'est le plus petit entier qui s'écrit de deux façons différentes comme somme de deux cubes. Ramanujan l'aurait remarqué immédiatement, sur le numéro d'un taxi.
La plus belle formule
eiπ + 1 = 0
Pourquoi ?
L'identité d'Euler relie les cinq nombres les plus célèbres : 0, 1, e, i et π. Elle découle de eiθ = cos θ + i sin θ avec θ = π (vu en Terminale, option maths expertes).
π caché dans les impairs
1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − … = π/4
Pourquoi ?
C'est la formule de Leibniz. Elle converge très lentement : il faut des centaines de termes pour avoir seulement deux décimales de π !
Le nombre d'or
φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618
φ² = φ + 1 1/φ = φ − 1
Pourquoi ?
φ est la solution positive de x² = x + 1 (une équation du second degré, niveau Première). En divisant par φ, on obtient aussi 1/φ = φ − 1 = 0,618…
0,999… = 1
0,999999… = 1
Pourquoi ?
Si x = 0,999…, alors 10x = 9,999…, donc 10x − x = 9, soit 9x = 9 et x = 1. Ce n'est pas « presque » 1 : c'est exactement 1.